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一、计算题

1． 在图中，小车AB 重量为

可在光滑水平面上运动，小圆柱C 重量为

半径为r ，可在小

车的半圆槽内作纯滚动，半圆槽半径为R. 设圆柱C 从分方程；（2）初瞬时小车的加速度

.

处由静止滚下，求（1）系统的运动微

图

【答案】（1）取小车和圆柱体为研究对象. 主动力有小车和圆柱体的重力圆槽圆心O 连线与铅垂线夹角为广义坐标.

C 点相对于小车作圆周运动，由速度合成定理可知:

式中

用广义坐标表示系统的动能

以过O 点水平面为零势能面，则系统的势能为

式中h=常数，是小车重心到O 点的距离. 拉格朗日函数为

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均是保守力.

小车作平动，圆柱体作平面运动，系统有两个自由度. 取小车平动位移x ，圆柱体质心C 和半

根据拉格朗日方程

，系统的运动微分方程为

①

（2）初瞬时:

•代入式①

从以上二式中消去

便得到初瞬时小车加速度

2． 均质细杆长1, 质量为m. 问以哪一点为悬挂点作为复摆, 其摆动频率最大；以哪一点为悬挂点其摆动频率最小.

【答案】复摆固有频率为

若O 与质心C 距离为a , 则

则

由得当所以当当a=0时,

时,

小于零, 时, 叫有最大值, 为最小值.

有

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3． 跨度为1的折叠桥由液压油缸AB 控制铺设, 如图1所示. 在铰链C 处有一内部机构, 保证两段桥身与铅垂线的夹角均为

如果两段相同的桥身重量都是P , 质心G 位于其中点. 求平衡时液压油

缸中的力F 和角之间的关系

.

图1

【答案】建立如图2所示坐标系

.

图2

由虚功方程可得

又因为

因此变分可得

解得

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