2018年西安财经学院统计学院601理学数学之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
可逆.
矩阵
且
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
3． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
矩阵A 满足AB=0, 其
中
为标准形，并写出所用正交变换；
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
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4． 已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系
.
有无穷多解，矩阵
A
的特征值是
1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时
，方程组均有无穷多解。
当a=-l时
，
则当g=0
时，则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（
Ⅱ
）
知
的基础解系，即为
的特征向量
二、计算题
5． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A 正定由
6． 设
且由
合起来，当
时，A 正定，从而f 正定.
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论