2018年武汉轻工大学动物科学与营养工程学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
2．
已知三元二次型
则
即A
相似于矩阵
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即
，由此可知
是A 的特征
值
，
由征向量.
因为
是的特征向量.
是
1的线性无关的特
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
3． 设三阶方阵A 、B
满足式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵.
若求行列
【答案】
由矩阵
知则
. 可
逆.
又
故
即
所以
即
而
故
4． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
与的解.
对
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
得到
所以矩阵
的基础解系为
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
对
线性表出，
故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
5． （1
）设
求
（2
）设
求
【答案】因A 是对称阵，故正交相似于对角阵
⑴由
求得A
的特征值为对应
解方程（A-E ）x=0，由
得单位特征向量
对应
解方程（A-5E ）x=0，由