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一、证明题

1． 设

证明:f 在D 上连续，但不一致连续.

【答案】显然，f 在D 上是连续的，仅证f 在D 上不一致连续.

取当

无论及

时，

从而

2． 设级数

在D 上不一致连续. 收敛，证明

也收敛.

取得多么小，当

取到某个，n 时，

总能使

【答案】因为

I

又

3．

设级数

满足：

加括号后级数符号相同，证明

【答案】因为所以

设

故

又当

存在，即

时必有

从而

收敛，实际上两级数收敛到同一个数.

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及收敛，故收敛，所以由比较原则得

收敛

，亦收敛. 收敛，所以其中则

存在. 对任意的

：收敛.

，

且在同一括号中的

又因为括号内符号相同，

n ，存在k ，使

稩

二、解答题

4． 计算下列第二型曲面积分

其中S 为由

体表面并取外侧为正向；

其中S 是以原点为中心，边长为2的立方体表面并取

外侧正向；

其中S 是由平面

侧为正向；

其中S 是球面

的上半部分并取外侧为正向；

其中S 是球面

【答案】(1) 因

所以原积分由于

因此原积分(3) 由对称性知，

(4) 作球坐标变换，令

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六个平面所围的立方

和所围的四面体表面并取外

并取外侧为正向。

(2) 由对称性知只需计算其中之一即可。

故

(5) 由轮换对称知只计算

由

利用极坐标变换可得

因此原式 5．

【答案】原式=

6． 设

试讨论它在(0，0) 点处的连续性. 【答案】设

则

所以

当故当

即

1

时

因此

在点(0, 0) 处连续.

时

因而

综上所述

7． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

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可见

时

时在点(0, 0) 处不连续.

时

在点(0, 0) 处不连续.

在点(0, 0) 处连续；而其中L 是椭圆

方向沿逆时针方向.