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一、证明题

1． 证明

：

于区间

(其中由于

在

) 一致连续，但是于(0，1) 内不一致连续。 内连续，从而在

内一致连续，

则在区间

【答案】(1) 由于

内也一致连续。 (2) 利用定义，取

存在

取

尽管有

(为定值)

但是

2． 设函数列

函数(不要求一致有界) . 证明

：

【答案】

首先证明f (x ) ，g (x ) 在I 上有界. 而

所以

同理可证g (x ) 在I 上也有界. 设其次证明数

当因此

时有

当

时有

令，

最后证明n>N时

，

有

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，从而函数在区间(0，1) 内不一致连续。

都是I 上的有界

存在正整数

使得

在区间I 上一致收敛，且对每个n ，

在I 上必一致收敛.

故存在正整

在I 上一致有界. 由

，则

取正整数N ，使得当

有

于是当n>N时，

有

故

3． 设函数明：(1) 存在

【答案】(1) 令

在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0, 1) 内可微，且

使得

(2) 存在则

函数函数

在闭区间[0, 1]上连续， 在闭区间[0，1]上连续.

使得

(2) 令

显然

在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0，1) 内可微. 由于

且由(1) 的结论知，存在根据罗尔中值定理，存在由于

所以有

即

..

使得使得

即

即存在

使得

使得

证

在I 上一致收敛于f (x ) g (x ) .

由连续函数的零点存在定理知，存在

二、解答题

4． 计算第二型曲线积分周

【答案】用位于x 轴上的线段

与上半圆周

形成一闭路，记所围区域为D ，则

所以

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其中为自至的上半圆

5． 求心形线

所围图形的面积。

6． 求曲线

的全长.

因此

7． 利用归结原则计算下列极限：

【答案】⑴令

则有

由归结原则，得

（2）令

，则

由归结原则，得

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【答案】所围图形的面积为

【答案】将曲线改写成参数方程，并计算微弧：