2017年赣南师范学院数学计算机科学学院623数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设为连续函数，证明：
【答案】(1) 从所要证明等式的被积函数来看，应作代换
则
(2)
令
则
从而
由此得
2． 设
在集合上有界，求证：
【答案】由下确界定义有
移项即得
由下确界定义有
即得要证的第一式，又因为
3． 设
(1) (2) (1) 设(2) 设
右边
于是有
与所处的地位是对称的，故第二式也成立.
证明：
左边. 左边.
则 右边
则
【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设
二、解答题
4． 流体流速
求单位时间内穿过球面
是S 在三个坐标面上的投影面，则有
其
中
分别
是
的单位法矢，显然有
^
故
从
而
的流量。
【答案】设S 为所给球面
，
于是所求流量为
5． 一物体在某介质中按移至
【答案】
作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由
时克服介质阻力所作的功。
其中故
6． 设f (x ) 在[a, b]上连续，证明不等式数时成立.
【答案】
其中
若等号成立，则对任
何
f (x ) =f(y ) ,
即f (x ) 为常量函数.
即
所以
，其中等号仅在f (x ) 为常量函
7． 设
(1) 试求以(2) 计算【答案】(1) 因所以
其中
为自变量的反函数组；
所以
8． 作极坐标变换，将二重积分
化为定积分，其中【答案】如图所示：
图
令
则
9． 设a>0, 求曲线数为
对L 求偏导并令它们都等于0得
上的点到xy 平面的最大与最小距离.
到xy 平面的距离d=z, 构造拉格朗日函
【答案】设P (x ，y , z) 为曲线上任一点，易知
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