● 摘要
状态反馈控制策略是指只有当系统的某一状态达到预先给定的阈值水平时才实施控制策略. 此类阈值策略在生态学、生命科学和医学等领域广泛存在, 因此建立相应的数学模型对普遍存在的阈值策略进行刻画与研究具有非常重要的实际意义. 状态依赖的脉冲微分方程或脉冲半动力系统能够对众多的阈值控制策略提供一个非常自然的描述和刻画, 近年来脉冲半动力系统的理论得到了很好的发展, 理论的相继完善也使得脉冲半动力系统的应用领域变得更加的广泛. 基于害虫综合控制的经济阈值、神经元的阈电位、血糖浓度以及肿瘤细胞阈值, 建立了相应的具有状态反馈控制策略的害虫-天敌模型、二次整合-激发神经元模型、葡萄糖-胰岛素监测模型以及肿瘤-免疫动力学模型. 采用脉冲半动力系统的定性理论并发展新模型分析技巧, 对模型进行系统分析并揭示其隐含的重要生物结论.
对于具有状态依赖反馈控制策略的害虫-天敌模型和二次整合-激发神经元模型.根据阈值、重置值以及平衡态的不同位置关系, 确定了系统在各种不同情形下脉冲集和相集的定义域, 并且在相集的定义域内构造了庞加莱映射. 利用相似的庞加莱准则, 证明了系统半平凡周期解的存在性和轨道渐近稳定性, 详细讨论了系统在半平凡周期解附近发生的跨临界分支. 进一步借助庞加莱映射的定义和性质, 得到了系统内部阶1 周期解存在和轨道渐近稳定的条件以及系统存在多稳定性的结论, 并给出了阶k(k ¸ 2) 周期解的存在条件. 在害虫控制中, 研究结果表明在没有天敌的情况下, 害虫种群数量会被控制在一定的阈值范围内; 当引入天敌时, 害虫种群和天敌种群会在阈值范围内呈现周期震荡并且持久生存; 在资源有限的作用下, 为了把害虫种群数量控制在阈值范围内就需要缩短杀虫剂的使用周期、增加杀虫剂的使用次数或者增加天敌的投入量. 而对于神经元系统, 数值研究验证了结论的正确性, 并且显示系统存在着丰富的动力学性质. 阶1 周期解、混沌以及不存在周期解的存在条件分别对应于正规脉冲、爆发、以及相位脉冲发生的条件. 这表明在给定的条件下可以确定脉冲发生的次数, 同时所得结论为神经元系统存在的各种动力学性质提供了理论依据.
对于具有状态反馈控制策略的葡萄糖-胰岛素模型和肿瘤-免疫模型. 根据用药频率的不同考虑了两种情形, 例如一、过继性细胞免疫治疗(ACI) 注射频率高于白细胞介素(IL-2) 注射频率; 二、IL-2 注射频率高于ACI 注射频率. 利用脉冲微分方程的基本理论, 研究了糖尿病系统周期解的全局稳定性和持久性、给出了肿瘤根除周期解的存在和稳定的条件. 数值结果显示胰岛素和葡萄糖输入的次数、剂量以及频率对糖尿病治疗的结果起着关键性的作用, 餐前注射胰岛素可以有效的控制血糖浓度. 同时详细讨论了用药周期、剂量和次数对肿瘤根除周期解最大振幅的影响. 通过数值研究发现不同的用药策略会对治疗结果产生很大的影响: 只注射ACI 可以有效的控制肿瘤细胞的生长, 而只注射IL-2 不能根除肿瘤细胞, ACI 和IL-2 同时注射与只注射ACI 的效果差别不显著, 并且确定了情形一下用药是最佳的用药策略的结果. 基于具有状态反馈控制策略的葡萄糖-胰岛素模型和肿瘤-免疫模型, 研究结果表明血糖浓度达到阈值的次数和周期主要依赖于胰岛素注射剂量、葡萄糖输入剂量以及葡萄糖输入周期, 并且患者血糖浓度始终会维持在正常范围内; 所得结论说明效应细胞和肿瘤细胞的初始值及其比率、免疫治疗的周期、肿瘤细胞阈值对化疗的实施起着决定性的作用.
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