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一、分析计算题

1． t 取什么值时，下列二次型是正定的：

（1） （2）

【答案】（1）因为二次型正定的条件是

即所以这个二次型是正定的条件是

（2）不论t 取何值，所给二次型都不正定.

2．

通常称为

的距离，证明：

【答

案

3． 设

A 是一个

矩阵，定义

（1）

（2）

试求f （A ）. 【答案】（1）（2）

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】

4． 将

件时，Q 为正定.

【答案】（1）当a=0时，

化为标准形，求出变换矩阵，并指出a ，b ，c 满足什么条

作非退化线件替换

即可将Q 化为标准形次型.

（2）当

时，有：

但这时无论b ，c 为何值Q 都不能为正定二

令

即作非退化线性替换

可将Q 化为标准形

所以当

5． 设

其中a , b是整数，试求出f （x ）, g（x ）有公共有理根的全部a , b, 并求出相应的有理根. 【答案】令由于

与

则

有相同的根. 从而可求f （x ）与h （x ）的公共有理根.

有

因为a ，b 不是整数，所以1不是f （x ）与g （x ）的公共有理根. （2）若

时，有

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时，Q 为正定二次型.

f （x ）可能的有理根为：h （x ）可能的有理根为

因此它们公共有理根的可能范围是（1）

若

所以-1也不是f （x ）与g （x ）的公共有理根• （3）若

时，有

所以（4）若

也不是f （x ）与g （x ）的公共有理根.

时，有

所以仅有

6． 设

证明：①若

是f （x ）与g （x ）的公共有理根，此时

为整系数多项式.

是f （x ）的整数根，则

②若既约分数v/u是f （x ）的根，则对任意整数整除f （k ）. 【答案】①因为则

由于即知

故可得上面式（3）（但把改为

）且

其中为整数. 于是

令x=k代入上式后再两端乘以即得

故

7． 在

中，求

但因为之间的夹角

故

从而

（内积按通常定义）. 设

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设

都是整数，故

都是整数（或直接利用“若

, 代入（3）

及

. 令是整系数多项式且g （x ）是本原的，则h （x ）必为整系数多项式. ”这一定理）

（1）（2）（3）【答案】⑴