2018年大连海洋大学畜牧学715高等数学Ⅱ之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
线性无关，
列向量组
线性无关.
和向量组
线性表示；
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
时，
求出所有非零列向量
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
2．
设
（1）计算行列式∣A ∣；
（2）当实数a 为何值时，
线性方程组【答案】
有无穷多解？并求其通解.
若要使得原线性方程组有无穷多解，
则有及得
此时，
原线性方程组增广矩阵为
进一步化为行最简形得
可知导出组的基础解系为
非齐次方程的特解为
故其通解为k 为任意常
数. 3．
设
为三维单位列向量，并且
记
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
故A
有零特征值
的非零解即为对应的特征
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又且
另外，
由
故可知
为A 的特征值
，为
4的2
重特征值
，
为对应的特征向量
.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记 4． 已知
则
即A 相似于矩阵
，求
【答案】令
则且有1
所以
二、计算题
5
．
已知3阶矩阵A 的特征值为
1, 2, 3,
求
【答案】
令
的特征值. 又：
征值性质得
6． 利用逆矩阵解下列线性方程组：
是
的全部特征值. 由特是
因1，2, 3是A
的特征值，故为3阶方阵，于是
【答案】将方程组写作矩阵形式Ax=b, 这里，A 为系数矩阵，为常数矩阵.
为未知数矩阵，b