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一、解答题

1． 设二次

型

（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ

）求【答案】

（Ⅰ）由

知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.

为标准形，并写出所用正交变换；

矩阵A 满足AB=0, 其

中

记

值（至少是二重）

，

根据

值是0, 0, 6.

设

有

对

正交化，

令的特征向量为

有

则是

的线性无关的特征向量.

由此可知

，是矩阵A 的特征

故知矩阵A

有特征值因此，矩阵A 的特征

那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，

则

解出

再对，单位化，得

那么经坐标变换

即

二次型化为标准形（Ⅱ）因为

又

有

所以由

进而

得

于是

2．

设

当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.

【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B

可变形为

即得到线性方程组

若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，

故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时

，

所以方程组的通解为

也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为

其中

3．

设的所有矩阵.

为任意常数.

E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E

【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：

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得到方程组Ax=0同解方程组得Ax=0

的一个基础解系为

（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，

设

对矩阵（AE

）进行初等行变换如

下：

由方程组可得矩阵B

对应的三列分别为

即满足AB=£；

的所有矩阵为

其中为任意常数.

4． 设

A 为

的解为【答案】由

矩阵且有唯一解. 证明

：矩阵

为A 的转置矩阵）.

易知

为可逆矩阵，

且方程组

只有零解.

使.

所只有零

有惟一解知

则方程组

.

即

即有

可逆.

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，则

由.

得

有非零解，即存在

于是方程组

有非零解，这与

二、计算题