2018年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所603高等数学(丙)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
（Ⅱ
）
2． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
知
的基础解系，
即为
的特征向量
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实对称矩阵，所以必可对角化
，且秩
于是
那么矩阵A 的特征值为
：1
（k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
3． 已知A 是
3阶矩阵
，
（Ⅰ）证明：（Ⅱ
）设【答案】
（Ⅰ）由同特征值的特征向量，故
又令即由
线性无关
，得齐次线性方程组
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
线性无关
.
求
是3
维非零列向量，若线性无关；
且
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
令
非零可知，是A
的个
即
故
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4．
设矩阵求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】
令
即
取.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵B 满足题意.
令
二、计算题
5．
设
且
求B
合并含有未知矩阵
又
，
其行列式
B
的项，
得
【答案】由方
程
故A-E 可逆，
用左乘上式两边，即得
6． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】
由特征方程的定义因此，
只需证
而
是A
的特征值
即A 与单位矩阵E 合同. 就有
即矩阵A 的二次型是正定的，从而由定义知.A 是正定矩阵. 必要性：因A 是对称阵，必存在正交阵Q , 使
其中
2, …, n
记对角阵从而
记
7． 证明对称阵A 为正定的充要条件是：存在可逆阵U ，使
【答案】充分性：若存在可逆阵U ,
使处的值
任取
并且A 的二次型在该
是A 的全部特征值. 由A 为正定矩阵，
故