2017年扬州大学信息工程学院833高等代数(工)考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1. 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解,
是
的基础解系,
为任意常数,
则Ax=b的通解为( )•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 2. 若
是
因此
线性无关,且都是
知
的解. 是
的特解,因此选B.
所以
因此
不是
的特解,从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
都是4维列向量,且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得
3. 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解空间分别为
的解,则( )。
则
所以
【答案】(C ) 【解析】设即证秩
4. 设n (n ≥3)阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时,
5. 设A 是n 阶矩阵,a 是n 维向量,若秩
【答案】D 【解析】
则线性方程组( )•
【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6. 设
是数域P 上的线性空间,
关于以上运算构成数域P 上的线性空间;
是非空集合,且对加法和数量乘法封闭. 下面仅验证8条算律中的(3)的零元素分别是
因为
记
的负元.
对于指定的运算构成数域P 上的线性空问.
规定
(1)证明(2)设
【答案】(1)显然和(4).
验证条件(3):设故
验证条件(4):故综上所述
:的零元素.
的负元分别是
因为
(2)设下证(6-1)是则
的基. 令
;的基,令
于是
那么
故(6-1)线性无关
. 由于是
故(6-1)是
7. 设A 、B 为n 阶伴侣阵,
【答案】因当当
即时,
所以时,取
又
证明存在多项式
故
为A 的特征多项式即可.
使
的基,从而
是
的基,
是
的基,可设
(1)如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使
由因此有
设
的最小多项式为为
的常数项,则
故
(2)如果B 的特征值全为0,由于存在可逆阵T ,使
这里
由
可设
可得
这里为
阶可逆矩阵.
的常数项不为〇. 取
由于可逆,因而