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2017年扬州大学信息工程学院833高等代数(工)考研强化模拟题

  摘要

一、选择题

1. 设

是非齐次线性方程组

的两个不同解,

的基础解系,

为任意常数,

则Ax=b的通解为( )•

【答案】B 【解析】因为中

不一定线性无关. 而

由于故 2. 若

因此

线性无关,且都是

的解. 是

的特解,因此选B.

所以

因此

不是

的特解,从而否定A , C.但D

的基础解系. 又由

都是4维列向量,且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得

3. 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解,则( )。

所以

【答案】(C ) 【解析】设即证秩

4. 设n (n ≥3)阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.

但当a=l时,

5. 设A 是n 阶矩阵,a 是n 维向量,若秩

【答案】D 【解析】

则线性方程组( )•

【答案】B 【解析】

二、分析计算题

6. 设

是数域P 上的线性空间,

关于以上运算构成数域P 上的线性空间;

是非空集合,且对加法和数量乘法封闭. 下面仅验证8条算律中的(3)的零元素分别是

因为

的负元.

对于指定的运算构成数域P 上的线性空问.

规定

(1)证明(2)设

【答案】(1)显然和(4).

验证条件(3):设故

验证条件(4):故综上所述

:的零元素.

的负元分别是

因为

(2)设下证(6-1)是则

的基. 令

;的基,令

于是

那么

故(6-1)线性无关

. 由于是

故(6-1)是

7. 设A 、B 为n 阶伴侣阵,

【答案】因当当

即时,

所以时,取

证明存在多项式

为A 的特征多项式即可.

使

的基,从而

的基,

的基,可设

(1)如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使

由因此有

的最小多项式为为

的常数项,则

(2)如果B 的特征值全为0,由于存在可逆阵T ,使

这里

可设

可得

这里为

阶可逆矩阵.

的常数项不为〇. 取

由于可逆,因而