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一、填空题

1． 网络中如果树的节点个数为z ，则边的个数为_____。

【答案】z-l

【解析】由树的性质可知，树的边数=数的节点数-1

2． 如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案是否会发生变化: _____。

【答案】不发生变化

【解析】如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案中各变量的 检验数均不发生变化，所以最优调运方案不发生变化。

3． 某极小化线性规划问题的对偶问题的最优解的第1个分量为y l =-12，则该问题的第1个约束条件的右端常数项的对偶价格为:_____。

【答案】-12

【解析】由对偶问题的经济解释可知，原问题约束条件的右端常数项的对偶价格等于对偶问题的最优解中相 应的分量的值。

4． 在用对偶单纯形法求解某线性规划问题时, 当进基变量x i 确定后，出基变量的选取原则是:_____。

【答案】

二、证明题

5． 对于M/M/1/m/m模型，试证

【答案】因为

。

，并给与直观解释。

若L s 表示系统中平均出故障的机器数，则系统外的机器平均数应为m 一L s 。于是，系统的有效到达率，即 m 台机器单位时间内实际发生故障的平均数为

因此，有

，即

。 。

6． . 令试证

为一组A 共轭向量（假定为列向量），A 为对称正定矩阵，

【答案】

为一组A 共轭向量，它们必线性无关。则

使得

用

左乘上式，并且由共轭关系可知：

令由

知BA=E，所以故得证。 7． 设

是正定二次函数

。试证:若

关于Q 共扼

分别

在两条平行

。

。

于方向P 的直线上的极小点，则方向p 与方向

【答案】因为则有从而又由于则有

分别是f （x ）在两条平行于方向P 的直线上的极小点， ，

8． 对于M/M/1/∞/∞模型，在先到先服务情况下，试证明:

顾客排队等待时间分布的概率密度是

，并根据该式求等待时间的期望值

。

，【答案】令N ’为在统计平衡下一个顾客到达时刻看到系统中已有的顾客数（不包括此顾客）

为在统计平衡 下顾客的等待时间，则

由a n 的定义，得

，于是有

由定理知，对任何一个输入为最简单流的单服务台或多服务台的等待制排队系统，恒有

，所以，

到达者遇到系统中顾客数不少于1个顾客，是需要等待的充要条件，因此

①

因为当系统中有n （n ≥l ）个顾客时，其中只有一个顾客正在接受服务，而其余n-1个顾客在排队等待，所以，新到顾客必须在服务台轮空n 次后，才能接受服务。于是，服务台轮空次数m （t ）t的充要条件，因此

②

其次，因为服务时间服从负指数分布，故其输出流，即服务台轮空次数m （t ）是一最简单流，其参数为

因此

③

将③式代入②式，然后再将②式代入①式，得

，其中，

，有

所以，顾客在系统中的等待时间分布为

因为，

以正概率

取0值，而当t>0时，它又具有连续型随机变量的性质，其分布函

既不是连续型随机变量，又不是离散型随机变量。然而类似的密度函数为

数必在（0，+∞） 上连续。所以于连续型随机变量，可以定义

。

三、计算题