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一、计算题

1． 设某元件是某电气设备的一个关键部件, 当该元件失效后立即换上一个新的元件. 假定该元件的平均寿命为100小时, 标准差为30小时, 试问:应该有多少备件, 才能有0.95以上的概率, 保证这个系统能连续运行2000小时以上？

【答案】记为第i 个元件的寿命, 如下不等式

再由林德伯格-莱维中心极限定理可得

由此查表得

, 从中解得

, 所以取

, 即应有23个此种元件, 可

. 则

, 根据题意可列

有0.95以上的概率保证这个系统能连续运行2000小时以上.

2． 设随机变量X 的密度函数为

试求

的数学期望.

【答案】

3． 设一批产品中一、二、三等品各占60%，35%，5%.从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率.

【答案】记事件A 为“取出一件不是三等品”，B 为“取出一件一等品”，因为A=“取出一件不是三等品”=“取出的是一等品或二等品”

所以AB=B，于是所求概率为

4． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在差异？并给出检验的p 值.

【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同

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下确认：男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著

学中喜欢看武侠小说的人数

，为其真实比例，

则

由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到

其中

于是，在成立的条件下，近似有

其中

将

的值代入，可算得

对显著性水平武侠小说方面有显著差异.

此处检验的p 值为

5． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

检验拒绝域为

待检验问题为

观测值落入拒绝域，故认为男女同学在喜爱

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

6． 设随机变量X 服从二项分布b （n ，p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与峰度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

而当

时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

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（3）再计算前四阶中心矩：

（4）最后计算偏度

与峰度

由此可见：二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现：①在区间

分布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，正态分布更乎坦；②在区间

外，

内，

此时二项

此时二项分布是对称的，且比标准

此时二项分布比标

准正态分布更尖峭. 第3章多维随机变量及其分布更尖峭。

7． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

的分布为

其中

.

则

8． 在入户推销上有五种方法，某大公司想比较这五种方法有无显著的效果差异，设计了一项实验：从应聘的且无推销经验的人员中随机挑选一部分人，将他们随机地分为五个组，每一组用一种推销方法进行培训，培训相同时问后观察他们在一个月内的推销额，数据如下：

表1

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