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一、计算题

1． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.

，i=l，2，3. 随机变量X 为“取到合格品之前，已【答案】记为“第i 次取m 的是合格品”取出的不合格品数”. 则

上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为

2． 如果一个矩形的宽度W 与长度1的比

这样的矩形称为黄金矩形（看

上去很舒服）. 下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形宽度与长度的比值

.

设这一工厂生产的矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布，其均值为u ，试检验假设

（取）

【答案】这是关于正态分布均值的双侧检验问题，此处总体方差未知，

故拒绝域为

若取显著性水

平

s=0.0918，由此，检验统计量

由于t 值落入拒绝域内，因此在显著性水平

3． 一射手单发命中目标的概率为p （

下拒绝原假设. 查表

知

经计

算

）, 射击进行到命中目标两次为止. 设X 为第一次命

中目标所需的射击次数, Y 为总共进行的射击次数, 求（X , Y ）的联合分布和条件分布.

【答案】只论命中与不命中的试验是伯努利试验. 在一伯努利试验序列中, 首次命中的射击次数X 服从几何分布

, 即

其中p 为命中概率, 第二次命中目标的射击次数Y 服从负二项分布Nb （2, p ）, 即

由于X 与Y-X 相互独立, 所以条件分布

从而（X , Y ）的联合分布列为

另一条件分布

注:从以上条件分布列

可知:在已知第二次命中目标的射击次数为y 的条件下,

第一次命中目标的射击次数X 是在前面次射击中等可能的.

4． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.

【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有

又记得

5． 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h ）:

1050，1100，1130，1040，1250，1300, 1200，1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.

【答案】样本均值样本标准差

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

6． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以

则y=X-1服从参数为p 的几何分布, 因此由此

7． 某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得. 根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.

（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；

（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者？ ，

则【答案】设共有n 位身体合格的献血者，记事件八为“第i 名献血者是AB 型血”

n.

（1）所求概率为

（2）由题意知

由此解得型血.

8． 设总体为均匀分布

求θ的后验分布.

【答案】当联合分布为

其

中

或

此

处

观

测

值

为

它位于区间（10，16）内，故后验密度函数为

即θ的后验分布为U （11.1, 11.7）.

i=l，2，3，10＜θ＜16，即

时，

的

所以取n=149时，可保证以95%的把握至少获得一份AB

的先验分布是均匀分布U （10，16）. 现有三个观测值

：

二、证明题

9． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且

记

（2）设其中

又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

以下对n 用归纳法：

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有

则

代入可得