2017年南开大学陈省身数学研究所845高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. A. 如果B. 如果秩 则则 . 有非零解 有非零解 有惟一解 只有零解 有零解. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩 3． 设行列式 未知量个数， 为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得 4． 设 A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 由上述知因此 5． 设 线性相关，所以线性相关，故选A. 则3条直线 （其中 【答案】D 【解析】令其中 则方程组①可改写为 则3条直线交于一点 方程组①有惟一解 ）交于一点的充要条件是（ ） . 于是 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 则 线性无关， 均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 由秩A=2, 可知可由 线性表出. 线性无关，由秩可知线性相关，即可由线性表出， 从而 线性相关，故选D. 二、分析计算题 6． 设 【答案】 且 是 中第i 行j 列元素 的代数余子式 . 7． 若 是线性空间V 的两个子空间，证明： 这里dimW 表示子空间W 的维数. 【答案】设将（I ）扩大 为 的一组基 再将（I ）扩大为今（IV ） 的一组基 ，则 可证 下证再令 由⑤式有 由⑥，⑦两式知 从而 所以 的维数分别为的维数为r ，取的一组基（I ）并 线性无关. 设有