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一、选择题

1． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

故选B.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，

记

A. B. C. D.

【答案】B

则（ ）.

【解析】由已知，有

于是

3． 设

A. 合同且相似

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则A 与B （ ）.

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

4． 设行列式

为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得

5． 设A 是

A. 如果B. 如果秩

矩阵，则则

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解

有非零解

有惟一解 只有零解

有零解.

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C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】

秩

未知量个数，

二、分析计算题

6． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.

【答案】证法I 若设因为若

，则对

由

則结论显然. 故下设. 且

则由

得

比较两端因此证法II

若

得：

即

7． 证明元素为0或1的三阶行列式之值只能是

【答案】设

若质得到

其中

的值只能为0或±1, 从而由①式，可知|A|的值只可能是0, ±1或±2. 那么

否则，不失一般性，可设

中有一不为0时，然后，由行列式的性

也是

_

的系数，得

得证.

的次

数

则必

有

因为若不然，则

由于是又得

矛盾. 这样，f （x ）在复数域中必有根

都是矛盾.

知，

下再证n=l.

其中k 为一常

的根. 如此下去，

可知

的根. 这显然不可能. 故必n=l

即

，这时交换A 的两行，可使all 的位置不为0, 而值只相差一个符号）

8． 设f （x ）为实系数多项式，证明：

①若有实系数多项式则必

②若f （x ）的首系数【答案】①若设

则

比较（3）式两端次数即知矛盾，故必f （x ） =0, 从而

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使

且无实根，则存在实系数多项式g （x ）, h（x ）使

则

，h （x ）中至少有一个不是零，例如，的次数为偶数且g （x ）