2018年云南农业大学动物科学技术学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设二次
型
（Ⅰ）用正交变换化二次型（Ⅱ
）求【答案】
（Ⅰ）由
知，矩阵B 的列向量是齐次方程组Ax=0的解向量.
为标准形，并写出所用正交变换；
矩阵A 满足AB=0, 其
中
记
值（至少是二重）
，
根据
值是0, 0, 6.
设
有
对
正交化，
令的特征向量为
有
则是
的线性无关的特征向量.
由此可知
，是矩阵A 的特征
故知矩阵A
有特征值因此，矩阵A 的特征
那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，
则
解出
再对，单位化，得
那么经坐标变换
即
二次型化为标准形（Ⅱ）因为
又
有
所以由
进而
得
于是
2． 设线性方程
m
【答案】
对线性方程组的增广矩阵
试就
讨论方程组的解的悄况，备解时求出其解.
作初等行变换，如下
（1
）当
即
且
时
则方程组有惟一答:
（2）
当
且
即
且
时
则方程组有无穷多可得其一个特解
解.
此时原方程组与同解，
解得其基础解系为
为任意常数. 此时方程组无解. 时
逆
且A 可对角化，
求行列式
故原方程组的通解为
（3
）当
（4
）当
3． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
即矩阵
时
此时方程组无解.
其中E 是n 阶单位矩阵.
专注考研专业课13
年，提供海量考研优质文档！
（II
）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
使或
1.
4． 证明n 阶矩阵
与相似.
【答案】设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，
故A 的n 个特征值为
且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且
所以B 的n 个特征值也为
=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1重特征值
对于n-1重特征值由于矩阵（0E-B ）
的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步