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一、证明题

1． 证明:

（1）（2）

【答案】（1）由

.

，移项即得结论.

2． 设总体为如下离散型分布

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

表

是来自该总体的样本.

（1）证明次序统计量（2）以表示【答案】（1）给定但必有

中等于

是充分统计量； 的个数，证明的取值

于是，对任一组并

设满足

是充分统计量.

中有个中有个

可以为0,

有

该条件分布不依赖于未知参数，因而次序统计量（2）

与

是一一对应的，因为给出

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是充分统计量.

就可算得

反之，给出这只要通过令

也可构造出，

即可实现（这里默认

3． 任意两事件之并

），因此，是充分统计量.

可表示为两个互不相容事件之并，譬如

（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明

【答案】⑴

（2）利用加法公式可得

4． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:

在区间

上服从均匀分布.

代入函数

【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当

的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数

的图形知它的最大值是

是不可能事件, 所以

是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则

当

时,

下面求Y 的分布函数

综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了

上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.

5． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:

【答案】

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二、计算题

6． 设随机变量

服从柯西分布，其密度函数为

试证:

当

时，有

即

结论得证.

7． 已知随机变量Y 的密度函数为

在给定

条件下，随机变量X 的条件密度函数为

求概率【答案】因为

所以

8． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？

【答案】因为

再用林德伯格-莱维中心极限定理可得

或

由此查表得

的差异小于

从中解得

取

即可以

的把握使平均值与实际值a

, 所以根据题意可列如下不等式

服从正态分布

记问至

【答案】对任意的

的把握使平均值与实际值a 的差异小于

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