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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】

2． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

则线性方程组（ ）•

故选B.

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

到

基

【答案】（A ）

5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

二、分析计算题

6． 设A 是n 级实对称矩阵. 证明:存在一正实数c 使对任一实n 维向量X 都有

【答案】根据本章习题10, 有正实数

使

是正定矩阵，因此有正实数c 使

.

都是正定矩阵.

于是对任一个n 维实向量X ，都有

因此

从而有

7． 证明：如果

【答案】因此有

由此得即

8． 设件为

在有解的情形，求出它的一般解. 【答案】对増广矩阵作初等行变换

证明：这方程组有解的充分必要条

其中

是不等于1的两个3次单位根. 由题设有

那么