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2017年兰州交通大学数理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编

  摘要

一、选择题

1. 在n 维向量空间取出两个向量组,它们的秩( ).

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

故选B.

2. 设n (n ≥3)阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.

但当a=l时,

3. 设向量组

线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )

【答案】B 【解析】

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

线性无关知,

该方程组只有零解方法2:对向量组C ,由于

从而

线性无关,且

因为 4. 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同,也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵,易知

B 的特征值为1,1,0,所以A 与B 合同,但不相似.

5. 若都是4维列向量,且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得

6. 设A 是一

所以A 的特征值为3,3,0;而

所以向量组

线性无关.

线性无关.

则A 与B ( ).

二、分析计算题

矩阵,且秩

证明:存在一

可逆矩阵P 使

的后

行全为零.

【答案】方法1设A 的行向量组的极大线性无关组由第

行组成,则可用几次互

换两行的变换分别将它们移到第1,2, …,r 行上,不妨设A 的前r 行就组成行向量组的极大线性

无关组,设某个第j 行,

j

则将第j 行减去第1行的倍,减去

零. 每个第j 行,为零.

是第1行的U 音,第2行的倍,…,第r 行的倍的和, 第2行的倍,…,减去第r 行的倍,结果这一行成为都进行上述的初等行变换. 则A 的第

行全变

上述所有初等行变换的乘积相当于用某个可逆阵P 左乘A ,即存在可逆阵P 使

则再用零,故

右乘上述矩阵,相当于对它进行一系列初等列变换,其结果是后面的后面

行全为零.

右乘上行仍保持为

Q 使PAQ 成为标准形,方法2秩A 为r , 则有可逆阵P ,即

述矩阵,如方法1中所证的一样,仍使结果保持后n-r 行为零. 即

的后n-r 行全为零.

7. 求结式:

(1)(2)(3)

【答案】(1)

(2)

…从第二列开始,把第一列的2倍加到第二列,再把所得行列式的第二列的2倍加到第三列,一直作到最后一列,得到