2017年兰州交通大学数理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1. 在n 维向量空间取出两个向量组,它们的秩( ).
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
2. 设n (n ≥3)阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为( ). A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时,
3. 设向量组
线性无关,则下列向量组中,线性无关的是( )
【答案】B 【解析】
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知,
该方程组只有零解方法2:对向量组C ,由于
从而
线性无关,且
因为 4. 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同,也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵,易知
B 的特征值为1,1,0,所以A 与B 合同,但不相似.
5. 若都是4维列向量,且4阶行列式
【答案】C
【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得
6. 设A 是一
所以A 的特征值为3,3,0;而
所以向量组
线性无关.
线性无关.
则A 与B ( ).
二、分析计算题
矩阵,且秩
证明:存在一
可逆矩阵P 使
的后
行全为零.
【答案】方法1设A 的行向量组的极大线性无关组由第
行组成,则可用几次互
换两行的变换分别将它们移到第1,2, …,r 行上,不妨设A 的前r 行就组成行向量组的极大线性
无关组,设某个第j 行,
j
则将第j 行减去第1行的倍,减去
零. 每个第j 行,为零.
是第1行的U 音,第2行的倍,…,第r 行的倍的和, 第2行的倍,…,减去第r 行的倍,结果这一行成为都进行上述的初等行变换. 则A 的第
行全变
上述所有初等行变换的乘积相当于用某个可逆阵P 左乘A ,即存在可逆阵P 使
则再用零,故
右乘上述矩阵,相当于对它进行一系列初等列变换,其结果是后面的后面
行全为零.
用
右乘上行仍保持为
Q 使PAQ 成为标准形,方法2秩A 为r , 则有可逆阵P ,即
述矩阵,如方法1中所证的一样,仍使结果保持后n-r 行为零. 即
的后n-r 行全为零.
7. 求结式:
(1)(2)(3)
【答案】(1)
(2)
…从第二列开始,把第一列的2倍加到第二列,再把所得行列式的第二列的2倍加到第三列,一直作到最后一列,得到