2017年兰州交通大学数理学院817高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1．
设
是3维向量空
间的过渡矩阵为（ ）
.
的一组基, 则由
基
到基
【答案】（A ）
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
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【答案】D
【解析】
4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
二、分析计算题
6． 对任意的自然数n , 均有
【答案】证法1:归纳法
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n=0 时，
设n=k时，
当
时，
由上式及归纳假设知证法2:设因为
所以
结合
7． 已知3阶矩阵A 的第一行是（a , b ，c ），a ，b ，c 不全为零，矩阵且AB=0, 求线性方程组AX=0的通解.
【答案】由于AB=0, 故
当k ≠9时，r （B ）=2, 于是r （A ）=1;
当k=9时，r （B ）=1，于是r （A ）=1或r （A ）=2. 对于
由AB=0可得
由于是AX=0的通解为
其中
线性无关，故为任意常数.
为AX=0的一个基础解系，于
又由a ，b , C 不全为零，可知
，（k 为常数）
互素，
知
的两根记为
命题得证.
对于k=9，分别就r （A ）=2和r （A ）=1进行讨论. 如果r （A ）=2, 则AX=0的基础解系由一个向量组成. 又因为
所以AX=0的通解为
为任意常数.
如果r （A ）=1，则AX=0的基础解系由两个向量构成，又因为A 的第一行为（a , b , c ）, 且a , a , c
不全为
0, 所以
AX=0
等价
于
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不妨
设由
于
是AX=0的两个线性无关的解，故AX=0的通解为