当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设n （n ≥3）阶矩阵

若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1

B. C.-1

D.

【答案】B 【解析】

故

但当a=l时，

2． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

第 2 页，共 49 页

）

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

线性无关.

因为 3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

所以向量组

线性无关.

则A 与B （ ）.

使

因此A 与B 合同.

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

第 3 页，共 49 页

分别为A ，B 的伴随矩阵，

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

到

基

5．

设

是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基

【答案】（A ）

二、分析计算题

6． 设A 是n 级反对称阵，证明:

（1）当为奇数时，（2）A 的秩为偶数.

【答案】先证若A 是反对称阵，则有在实可逆阵T ，使

当n 为偶数时，

是一实数的完全平方；

用数学归纳法，当n=l时，当n=2时，若

对偶作初等变换，第2行乘

结论①显然成立. 同时第2列也乘

即

若a=0时，结论①成立.

即A 与合同. 结论①成立.

时成立. 再证

时，设

归纳假设结论对

第 4 页，共 49 页