题目：高维散乱数据的高精度逼近方法的研究

高维散乱数据逼近一直是逼近论领域中的一个热点和难点话题。本文对大规模三维散乱数据局部高精度逼近方法的构造及其性态进行了研究，研究的主要问题是在大规模的高维散乱数据域中，如何构造具有高次多项式恢复功能的高精度逼近算子并进行其逼近阶的估计和算法精度的数值试验验证。本文具体的研究内容和创新结果如下：

第一部分，基于散乱数据结点的三角网格剖分，构造了两个逼近散乱数据的分片二元Hermite插值方法，其中一种方法使用的是精确偏导数，另外一种方法使用的是近似偏导数：本文首先根据散乱结点集利用Delaunay三角剖分生成三角形网格，然后根据三角网格将逼近点分为内部点和外部点两类，若是内部点则用其所在三角形上的满足9个插值条件的Hermite插值多项式来计算近似值，若是外部点则使用加权组合形式的Hermite插值来计算近似值。鉴于Hermite插值需要被插值函数的一阶偏导数，可数据信息中并未直接给出，于是文中给出了一种利用局部径向基插值函数给出近似导数的方法。数据试验表明该分片二元Hermite插值具有较强的逼近能力。

第二部分，基于散乱结点集的三角网格剖分和局部使用修正平均值坐标插值，构造了一逼近散乱数据的分片有理插值函数：基于散乱结点集的Delaunay三角剖分，借助平均值坐标概念在包围一个结点的多边形上定义平均值坐标插值函数（它是一个有理函数），并通过一个差分泛函对其进行了修正，在三角形网格上的每一个三角形上，利用三个修正的平均值坐标插值函数和基于此三角形三个顶点的线性插值基函数做线性组合，该组合是一有理函数。文章证明了该有理函数在此三角形上具有插值性、线性再生性，并给出了其在三角形上的逼近误差。利用三角形上的这个局部有理插值，我们在Delaunay三角剖分上定义了一个分片有理插值函数。数值试验将这个分片有理插值与其它两个局部插值方法进行了分析比较，发现此分片有理插值具有精度高、计算稳定且高效等优点。