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一、计算题

1． 对一批产品进行检查，如查到第a 件全为合格品，就认为这批产品合格；若在前a 件中发现不合格品即停止检查，且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大，可认为每次查到不合格品的概率都是P. 问每批产品平均要查多少件？

【答案】设每批要查X 件，记q=l-p，则X 的分布列为

表

所以

2． 一地质学家为研宄密歇根湖的湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数. 假设这100次观察相互独立，求这地区石子中石灰石的比例P 的最大似然估计. 该地质学家所得的数据如下表：

表

【答案】本题中，总体X 为样品中石灰石的个数，且X 服从参数为（10, P ）的二项分布，即

为样本，则其似然函数为（忽略常数）

对数似然函数为

将对数似然函数关于P 求导并令其为0得到似然方程

解之得

由于

由二阶导数的性质知，P 的最大似然估计为

3． 某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布, 为了解其平均寿命, 从中抽出n 件产品测其实际使用寿命, 试说明什么是总体, 什么是样本, 并指出样本的分布.

; 【答案】总体是该厂生产的电容器的寿命全体, 或者可以说总体是指数分布, 其分布为Expa ）样本是该厂中抽出的n 个电容器的寿命；记第i 个电容器的寿命

为

样本

4． 设

【答案】记

为来自

的分布为

的样本，试求假设样本的联合密度函数为

两个参数空间分别为

利用微分法可求出在上MLE , 于是似然比统计量为

通过简单的求导计算可知，函数是

从而似然比检验等价于采用

做检验统计量，也就是说，似然比检验与传统的双侧卡方在（0, 1）区间内单调递增，在（

）上单调递减，于

分别为

的MLE , 而在

上

为u 的

其中

.

的似然比检验.

则

检验是等价的.

5． 求一回归直线y=A+Bx，使所有样本点小.

【答案】点

到直线y=A+Bx的垂直距离的平方为

到该直线的垂直距离平方和最

如今要求A 与B ，使

使用微分法，并命其导数为零，可得如下两个方程：

由（*）式可得

并将其代入（**）式，可得

注意到恒等式

可将上式化为

使用相同的记号

则上式可表示为

整理后可得如下的二次方程：

由于判别式

故此二次方程有实根

.

这里是斜率，根据散点图上的上升趋势或下降趋势选择备表达式中的士号.

6． 设律？

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

7． 考察一鱼塘中鱼的含汞量，随机地取10条鱼测得各条鱼的含汞量（单位：mg ）为

设鱼的含汞量服从正态分布试检验假设（取

为独立的随机变量序列, 其中服从参数为的泊松分布, 试问是否服从大数定

）.