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一、计算题

1． 图示质量弹簧系统，物体A , B 和C 的质量分别为2m , m 与m , A 和B 之间用不可伸长的绳子通过光滑的滑轮相连结，B 和C 之间用弹簧相连接. 弹簧原长为a ，弹性系数物块的运动都是简谐运动，并求出振动周期，绳中张力和弹簧中的张力

.

先用一手托

住A , 另一手托住C , 且使弹簧维持原长，现两手同时放开，如不计绳和弹簧的质量，求证以后三

图

【答案】设松开手后某一时刻B 下降了

C 下降了

A 上升了

A 和B 的加速度大小为:

C 的加速度为:

式①②联立可得:

积分并利用初条件:

可得

将其代入方程①②可得:

这是简谐振动的方程，三物体均做简谐振动. 其周期为:

设绳子拉力为如图（b ）所示，对物块A 使用牛顿定律有:

由⑥式有:

设

为

其中固有频率

由式④、⑤的初条件可得:

显然，振动时

不防取

的最小可能正值，由式⑩可得:

代入式⑩中可得:

又由式⑥可得:

推出

从而有:

把

代入式⑨可得:

设弹簧拉力为

对物体C 使用牛顿定律:

利用式③，⑧有:

2． 火车P 质量为

以

的速度自北向南匀速行驶，求当火车通过北京地区，

即北炜40°时对铁轨的侧向压力

.

图

【答案】以火车为动点，地球为动系

.

,

质点相对运动微分方程

上式向y 轴投影，得

地球自转周期为火车速度

可解得

自转角速度为

3． 火箭起飞质量1000kg , 其中包括燃料质量900kg ，在t=0时，铅直发射. 已知燃料以10kg/s的速率消耗，并以相对速度2100m/s喷出. 求

时火箭的速度和加速度.

【答案】取火箭为研究对象，设火箭t 时刻的质量为m （t ），则该时刻的动力学方程为:

根据动量守恒定律

其中

是气体喷发速度，

是气体单位时间的喷出量.

变质量下质点运动的动力学方程为:

联立①②③，并代入初始条件t=0，

可得:

当

此科氏力沿祎线向西.

时，燃料刚好耗尽，这时计算的是耗尽前的瞬时加速度.