2017年北京市培养单位理论物理研究所601高等数学(甲)考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 求函数
【答案】
在点
处变化最快的方向，并求演这个方向的方向导数。
由方向导数与梯度的关系可知，最快，其方向导数为
沿
方向减少最快，其方向导数为
2． 求旋转椭球面
【答案】令
上点
处的切平面与XOY 面的夹角的余弦。
，曲面的法向量为
曲面在点
，记
处的法向量为与
的夹角为
，则所求的余弦值为
，
面的法向量为
在处沿
的方向增加
3． 某厂生产如图所示的扇形板，半径R=200mm，要求中心角a 为55°。产品检验时，一般用测量弦长1的办法来间接测量中心角α，如果测量弦长1时的误差角测量误差
是多少?
，问由此而引起的中心
图
【答案】如图，由故
当
时，
将
代入上式得
4． 一球面过原点及A （4，0，0），B （1，3，0）和C （0，0，﹣4）三点，求球面的方程及球心的坐标和半径
【答案】
设所求球面的方程为标代入上式，得
a ²＋b ²＋c ²=R² （8-3） （a －4）²＋b ²＋c ²=R² （8-4） （a －1）²＋（b －3）²＋c ²=R² （8-5） a ²＋b ²＋（4＋c ）²=R² （8-6）
联立式（8-3）（8-4）得a=2，联立式（8-3）（8-6）得c=﹣2，将a=2代入（8-4）（8-5）并联立得b=1，故R=3.因此所求球面方程为（x －2） ²＋（y －1） ²＋（z ＋2） ²=9，其中球心坐标，半径为3. 为（2，1，﹣2）
5． 求下列欧拉方程的通解：
得
将己知点的坐
【答案】（1）令
2
（D +2D+1）y=0
即并记则原方程可化为
于是该方程的通解
即
该方程的特征方程为
故原方程的通解为
（2）
令
即
并
记
有根
则原方程可化
为
有根
即
故齐次
该方程对应齐次方程的特征方程为
方程的通解为
因
不是特征方程的根，故可
令
中并消去
于是得
即原方程的通解为
得
即
是非齐次方程的特解。代
入
6． 设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x ，y ）处它的线密度为（x ，y ）. 用对弧长的曲线积分分别表达:
（1）这曲线弧对x 轴、对y 轴的转动惯量I x ，I y ； （2）这曲线弧的质心坐标
。
，【答案】（l ）设想将L 分成n 个小弧段，取出其中任意一段记作ds （其长度也记作ds ）（x ，y ）为ds 上一点，则ds 对x 轴和对y 轴的转动惯量近似等于
以此作为转动惯量元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的转动惯量
（2）ds 对x 轴和对y 轴的静矩近似等于
以此作为静矩元素并积分，即得L 对x 轴、对y 轴的静矩
从而L 的质心坐标为