2018年华南农业大学林学与风景园林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数.
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
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当a=-1
及a=0
时，方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，
则当g=0时，则
值的特征向量.
由
知
线性相关
，不合题意. 线性无关，
可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型
（
Ⅱ）证明[!
【答案】（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，并求行列式
的值.
即或
贝
因为A
是
为矩阵A 的特征值，对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
知
的基础解系，
即为
的特征向量
实对称矩阵
，所以必可对角化，且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：
1
（
k 个），-1（n-k 个）. 故二次型
（Ⅱ）因为
4． 设
为三维单位列向量，并且
记
故
的规范形为
所以矩阵B
的特征值是：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，且
证明：
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解；
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（Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，故A
有零特征值
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5．
设矩阵
【答案】先求x ，y :
因得y=l+x.
因由
再求正交阵P.
对应
解方程（A-5E ）x=0，由
得基础解系
是A 的特征值，
有
与
相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使
相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：
5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.
得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A
的特征值为
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