2018年华南农业大学林学与风景园林学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1．
已知矩阵可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由。
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是当
时，由秩
知
有2个线性无关的解，即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
记
证明：
3．
设
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
故A
有零特征值
的非零解即为
对应的特征
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
4． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明
的规范形；
且秩
的值.
是正定矩阵，
并求行列式
[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
即或
贝
因为A 是
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
故
的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
二、计算题
5． 设A
为
矩阵，
证明方程
有解
而
因此
有解
6．
设
是m
阶矩阵
所以方程
的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.
特征向量
有
含m 行，
有
又
有解的充分必要条件是R （A ）=m.
【答案】
方程
【答案】根据特征值的定义证明.
设A 是矩阵AB 的任-非零特征值
，是对应于它的特征向量.
即有用矩阵B 左乘上式两边，
得若再由
则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明
.
式得
因此
事实上，由
7． 设A 为正交阵，且detA=-1, 证明λ=-1是A 的特征值.
【答案】
由特征方程的定义因此，
只需证
而
是A
的特征值
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