2018年华南农业大学兽医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
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一、解答题
1． 设n 阶实对称矩阵A
满足
（Ⅰ）求二次型（Ⅱ
）证明[!
【答案】
（Ⅰ）设
由于
从而
的规范形；
是正定矩阵，
并求行列式
的值.
即或
贝
因为A 是
为矩阵A 的特征值，
对应的特征向量为
又因
故有
解得
且秩
实对称矩阵，所以必可对角化，
且秩于是
那么矩阵A 的特征值为：1（k 个），-1（n-k 个）.
故二次型
（Ⅱ）因
为
2．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ
）求【答案】
当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。
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的规范形为
所以矩阵B 的特征值是
：
故
由于B 的特征值全大于0且B 是对称矩阵，因此B 是正定矩阵，
且
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
的基础解系.
当a=-l时，
则当g=0时，
则值的特征向量.
由
知
线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ
）
3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
知
的基础解系，
即为
的特征向量
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
4．
设A
为
的解为【答案】由
利用反证法，
假设
以有
解矛盾，故假设不成立，则
由.
得
有
有惟一解知
则方程组
. 即
即
矩阵且有唯一解.
证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
于是方程组可逆.
为可逆矩阵
，
且方程组只有零解.
使.
所只有零
有非零解，即存在
有非零解，这与
二、计算题
5．
求作一个秩是4的方阵，它的两个行向量是（1
, 0, 1, 0, 0），
（1,
-1, 0
, 0, 0）.
【答案】
因的秩为2, 故满足要求的方阵可以是
6． 设矩阵
可相似对角化
，求x
【答案】先求A 的特征值
所以
（二重根），
（单重根）
•
于是
A 可相似对角化
A 有3个线性无关的特征向量
A 对应于二重特征值1有2个线性无关的特征向量 方程（A —E ）x=0的系数矩阵的秩R （A-E ）=1 另一方面，
于是
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