2017年三峡大学理学院871高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
不妨设线性相关.
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【答案】B 【解析】
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
又由方法2:设考虑到
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设均为n 维列向量，A 是矩阵，下列选项正确的是（ ）. A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有 由上述知因此 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 所以A 的特征值为3，3，0；而 线性相关，所以线性相关，故选A. 于是 线性无关时，若秩 线性相关. 由此可否定C ，D. 又由 则 线性无关， 线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关. 则A 与B （ ）. 二、分析计算题 6． 设A 是 非零方阵， 则有正整数 故有 如果 秩 即A 可逆，则 秩 第 3 页，共 42 页 秩 证明： 由于 如果秩 由 中不能全 不为零， 否则每个秩而秩 与所设秩 就得 到秩 【答案】现设秩和 显然（1）的解是（2）的解. 又秩（1）的 基础解系也是（2）的基础解系，于是（1）与（2）同解. 再考虑齐次方程组 显然（2）的解是（3）的解. 对（3）的任一解即 是（2）的解，因此是（1）的解，于是 有 因而 是（2）的解，这证明了 完成了证明. 下的矩阵为 齐次方程组 （2）与（3）是同解的，它们的系数矩阵必有相同的秩，即秩 7． 设是数域K 上3维向量空间V 的一个线性变换，在V 的一组基 （1）求出V 的一组基，使A —在此组基下的矩阵为对角阵； （2）求3阶可逆矩阵T , 使 成为对角矩阵. 所以A 的特征值为 当当再令 第 4 页，共 42 页 因 使秩 于是依次 取 考虑n 次方程组 的基础系中有相同数目的解，于是 矛盾. 于是有 下面证明对任何1若 秩 【答案】（1） A 的特征多项式为 时，由时，由 得基础解系得基础解系