2017年中国石油大学(华东)理学院842高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数
即二阶导数
。
【
答
案
】
（
1
）
（2）
2． 下列计算是否正确，试说明理由:
（1）
（2）因为（3）
【答案】（1）不对，因为
，所以
；
在[-1, 1]上有间断点x=0，不符合换元法的要求，积分一定为
正，因此该积分计算不对。事实上，
（2）不对，原因与（1）相同，事实上，
（3）不对，因为发散，也就得到
3． 把积
分
发散。
，当时极限不存在，故
表为极坐标形式的二次积分，其中积分区
域。
2
【答案】积分区域D 如图所示。抛物线y=x的极坐标方程为，直线y=1的极
坐标方程为，用射线和将D 分成三部分
图
因此
4． 求下列各函数的定义域：
（1）（2）（3）（4）（5）
；
（6）【答案】
5． 推导余切函数及余割函数的导数公式:
【答案】
。
6． 溶液自深18 cm 顶直径12 cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时，其表面下降的速率为1 cm/min，问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?
，圆柱形筒中水深为h=h（t ）【答案】如图，设在t 时刻漏斗中的水深为H=H（t ）。
建立h 与H 之间内的关系：
又
即
，即
，故
，
上式两端分别对t 求导，得
当H=12时，
，此时