2017年广西师范学院量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 氢原子处在基态（1）r 的平均值； （2）动能的平均值； （3）动量的概率分布函数. 【提示：
【答案】（1） r 的平均值即
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级
和简并度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题 （2）由维里定理
（为势能关于r 的幂次）有动能平均值
其中玻尔半径
】
求：
而氢原子基态能量为
故
5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并
度，与三维各向同性谐振子比较.[上]3.9题5.10仿照5.3节，在直角坐标系中求解二维各向同性谐振子的能级和简并度，与三维各向同性谐振子比较.
2． 对于一维无限深势阱（1）写出单粒子能级
和波函数
的全同粒子在此势阱中，写出此系统基态和第一激发态的
（2）如果有两个无相互作用的自旋为能量值和波函数。
【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）
基态：
空间部分波函数是对称的
：自旋部分波函数是反对称的：
总波函数：
（2）第一激发态：空间部分波函数：自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数：
基态不简并，第一激发态是四重简并的。
3． 简述能量的测不准关系。
【答案】能量测不准关系的数学表示式为
即微观粒子的能量与时间不可能同时进行
准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
4． 自旋在方向的粒子，磁矩为置于沿z
方向的磁场中，写出其哈密顿量，并求其概率幅与时间的关系。 【答案】将上述自旋在
方向的粒子（譬如电子）置于沿z 方向的磁场B 中观察其概率幅的
变化。这时的哈密顿矩阵为：
式中，
是泡利矩阵，
为粒子的磁矩。电子负电，从而自旋磁矩
与角动量的方
向相反。当自旋角动量和磁场同沿z 方向时，磁矩沿-z 方向。 可得薛定谔方程为：
即：
积分后得：
取t=0时刻的初始条件为则:
式中，
围绕极轴转动，相
由上式可以看出，粒子的自旋矢量始终与极轴保持固定的夹角但以角速度当于经典电磁学中磁偶极子在外磁场中拉莫旋进的角速度，如图所示。
图
5． 设
为氢原子束缚态能量本征函数（已归一），考虑自旋后，
某态表示为
在该态下计算（结果应尽量化简）：
（1）在薄球壳（2）在薄球壳（3）
内找到粒子的几率。 内找到粒子且自旋沿
的几率。
为总角动量，计算在该态下的平均值。
在薄球壳
【答案】（1）由题意可得：为：
内找到粒子的概率
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