2017年沈阳农业大学工程学院903工程基础(理论力学)[专业硕士]考研强化模拟题
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一、计算题
1． 如图所示, 物块A 的质量为
B 轮的质量为
半径为R , 在水平面做无滑动滚动. 轮心用刚度
为广义坐标,
为k 长度为1的弹簧与物块A 相连, 物块A 与水平面间为光滑接触. 试以
（1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分
.
图
【答案】（1）系统的动能为:
系统势能为:
其中
为处于平衡位置弹簧的伸长量.
拉格朗日函数
（2）第二类拉格朗日方程
代入上一步的表达式, 得
（3）求其首次积分. 因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即
2． 车厢的振动可以简化为支承于两个弹簧上的物体在铅垂面内的振动, 如图所示. 设支承于弹簧上的车厢质量为m , 相对于质心C 的转动惯量为两轮轴的距离分别为
两弹簧的刚度系数分别为
质心距前后
试列出车厢振动的微分方程
.
图
【答案】如图所示, 以
为广义坐标, 以最低位置为平衡位置.
将L=T-V代入拉格朗日方程可得运动微分方程为:
3． 平台车以速度v 沿水平路轨运动, 其上放置均质正方形物块A , 边长为a , 质量为m , 如图1所示. 在平台上靠近物块有一凸出的棱B , 它能阻止物块向前滑动, 但不能阻止它绕棱转动. 求当平台车突然停止时, 物块绕棱B 转动的角速度
.
则系统的动能和势能分别为:
图1
【答案】当车突然停止时, 物块受到碰撞冲量, 以物块4为研究对象, 忽略碰撞过程中非碰撞力的作用, 如图2所示
图2
物块A 对B 点的动量矩守恒, 得到方程:
其中, 带入上式可得:
初始时刻OA
4．
图所示曲线规尺的各杆的长度分别为
水平，若杆OA 以等角速度Q 绕OZ 轴逆时针转动，求R 上点D 的运动方程和轨迹。
图
【答案】D 点的位置坐标是
消去参数t 得
因此D 点的轨迹为一个椭圆。