2017年南昌大学理学院814高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面所围成。
（1）求物体的体积; （2）求物体的质心;
（3）求物体关于z 轴的转动惯量.
【答案】（l ）如图所示，由的对称性可知
和平面z=0, │x │=a, │y │=a
图
（2）由对称性可知，质心位于z 轴上，故
。
（3）
2． 将下列函数展开成x-1的幂级数，并求展开式成立的区间：
【答案】（1）当
时，因
而
在以上二项展开式中取
并用x-1替换其中的x ，得
（2）
利用
将上式中的x 换成x-1，得
3． 确定下列函数的单调区间:
【答案】（l ）函数的定义域
为
,
在内可导,
且
令当
1 得驻 点 及 时 , 这两个驻点 把因此函数在 内可导, 且 分成三个部分区 间 上单调增加; 当一 , 因此函数在[-1, 3]上单调减少。 （2）函数的定义域为 令当函数在 , 得驻 点 时, （舍去） , 。它 把分成二个部分区 间 时, , 因此 , 因此函数在（0, 2]上单调减少; 因此函数在 上单调增加。 （3）函数除x=0外处处可导, 且 令y’=0, 得驻点, 当 内单调减少; 当 （4）函数在 , 时, 内可导, 且 因此函数在（5）函数在 内单调增加。 内可导, 且 令 , 得驻点 及 当 时, 及 , 因此函数在（6）函数在 。 时 , 上单调增加。 处不可导且在 内可导 , 因此函 数 上单调减少, 当 , 这两个驻点把区间 分成三个部分区间 。这两个驻点及点x=0把区间 。 时, , 因此函数在, 因此函数在 , 上单调增加。 , 分成四个部分区间