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一、解答题

1．

设的所有矩阵.

【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：

E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E

得到方程组Ax=0

同解方程组得Ax=0

的一个基础解系为

（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如

下：

由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为

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即满足AB=£；

的所有矩阵为其中为任意常数.

2

． 已知

A 是

3阶矩阵，

是3维线性无关列向量，

且

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ;

（Ⅱ）求A 的特征值和特征向量： （Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

令记

因

则有

线性无关

，故

P 可逆

.

即A 与

B

相似.

（Ⅱ）由

A 的特征值为-1,

-1，

-1.

对于矩阵

B ，由

得

所以

可知矩阵B 的特征值为-1,

-1，

-1, 故矩阵

得特征向量那么由：即

是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1的所有特征向量是全为0.

（Ⅲ）由

知

故

芄中

不

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3． 已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】

的基础解系

.

有无穷多解，矩阵

A

的特征值是

1, -1, 0, 对应的特征向

当a=-1及a=0时

，方程组均有无穷多解。

当a=-l时

，

则当g=0

时，则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意.

线性无关，可作为三个不同特征

（

Ⅱ）

4．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由.

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

知

的基础解系，即为

的特征向量

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是

由矩阵B 的特征多项式

得到矩阵B 的特征值也是

当

时，由秩