2018年华中农业大学水产学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． 已知A
是
矩阵，齐次方程组
的基础解系是
与由
的解.
对
得到
所以矩阵
的基础解系为
则既可由
对
作初等行变换，有
不全为
当a=0时，
解出
因此，Ax=0与Bx=0
的公共解为
2． 设n 维列向
量
【答案】
记
其中t 为任意常数.
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
第 2 页，共 39 页
又知齐
次方程组Bx=0
的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1
）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
有非零公共解，求a 的值并求公共解.
知
贝腕阵
的列向量（即矩阵
作初等行变换，有
（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0
的非零公共解为由
线性表出，
故可设
于是
线性表出，也可
专注考研专业课
13年，提供海量考研优质文档！
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
从而组的基础解系为数. 3
．
已知对角矩阵.
是矩阵
有无穷多解. 易知特解为
从而②的通解，
即①的通解为
对应齐次方程
A 为任意常
的二重特征值，求a 的值，
并求正交矩阵Q 使为
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量
，于是
知
解（2E-A ）x=0, 得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
第 3 页，共 39 页
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
且有
4． 已知A 是3阶矩阵，
（Ⅰ）证明
：（Ⅱ）设
【答案】（Ⅰ）由
同特征值的特征向量，
故
又令即由
线性无关，得齐次线性方程组
线性无关
.
求
是
3维非零列向量，
若线性无关；
且
令
非零可知，是A 的个
因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0, 所以必有线性无关；
（Ⅱ）因为,
所以
即
故
二、计算题
第 4
页，共 39 页