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一、解答题

1．

已知

且

.

求

又

又

知

即

得

故

知

故

【答案】

由题意知

2．

设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，

线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，

则有及得

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此时，

原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为

非齐次方程的特解为故其通解为k

为任意常

数.

3． 已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵

（

Ⅱ）求【答案】

当

a=-1及

a=0时，方程组均有无穷多解。

当a=-l

时，

则

当g=0时，则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1

,

-1

, 0, 对应的特征向

（Ⅱ）

知的基础解系，即为的特征向量

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4．

已知实二次

型的矩阵

A ，满

足且其

中

（Ⅰ）用正交变换xzPy

化二次型为标准形，并写出所用正交变换及所得标准形； （Ⅱ）求出二次型【答案】（Ⅰ）由由

知，B

的每一列

满足

的具体表达式

.

知矩阵

A 有特征值即

是属于A 的特征值

.

则

与—

j

正交，于是有

令

的线性无关特征向

显然B 的第1,

2列线性无关

，

量

，从而知A

有二重特征值

设

对应的特征向量为

解得

将

正交化得：

再将正交向量组

单位化得正交单位向量组：

令

（Ⅱ）由于

则由正交变换

故

化二次型为标准形