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一、简答题

1． 电子在位置和自旋表象下，波函数【答案】

利用

的几率密度；

表示粒子在

如何归一化？解释各项的几率意义。

进行归一化，其中

：

处

的几率密度。

对整个空间积分也等于1。

表示粒子在

|

处

2． 归一化波函数是否可以含有任意相因子【答案】可以。因为即用任意相因子归一化。

如果

对整个空间积分等于1，则

去乘以波函数，既不影响体系的量子状态，也不影响波函数的

二、计算题

3． 两个互作用可以忽略的电子在一维线性谐振子势场中运动，写出系统基态和第一激发态的总波函数。

【答案】单电子波函数的空间部分：

二电子总波函数应为反对称： 基态：第一激发态：

4． 中子的自旋也为

磁矩为

若中子处于沿y 方向的均匀磁场中，求自旋波函数。

）

【答案】体系的哈米顿基为：

不妨取

在表象中，

设自旋波函数为则能量本征方程为：

久期方程为：由此可得：（1）当自旋波函数为：

时，由

并结合归一化条件

可得

（2）同理，当

时，可得自旋波函数为：

5． Q 表缘的基矢有两个：

算符有如下性质：

（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为

求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.

【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元

.

设其本证函数为则有由久期方程

对应本征函数为

解得

再代回

可得

对应本征函数为

（2）粒子的力学量由题意

可能取值即其本征值.

时，相应概率为时，相应概率为 6．

为电子自旋算符。写出在表象中的矩阵表示、的本征值及其对应的本征态。

【答案】

7． 设氢原子处于状态：

（a ）测得该原子的能量的可能值为多少? 相应的概率又为多少？

（b ）测得的角动量分量的可能值和相应概率为多少?[湖南大学2009研] 【答案】（a ）氢原子能级

对应概率为：

对应概率为：

（b ）由题意，m=l, ﹣1，0

而可能取值为故

可能取值有

对应概率

对应概率

对应概率

a 为玻尔半径. 故氢原子可能能量为

三、综合分析题

8． 考虑轨道角动量L 与自旋角动量S 的耦合，当【答案】

时，求

故

的所有可能值。