2018年贵州大学物理学院819物理综合之量子力学教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、简答题
1． 假设体系的哈密顿算符不显含时间，而且可以分为两部分：一部分是（非简并）和本征函数
已知：另一部分
很小，可以看作是加于
它的本征值
上的微扰. 写出在非简并
状态下考虑一级修正下的波函数的表达式? 及其包括了一级、二级能量的修正的能级表达式。 【答案】
一级修正波函数为二级近似能量为
其中
2． 简述波函数和它所描写的粒子之间的关系。
【答案】微观粒子的状态可用一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条件。 微观粒子的状态波函数则在为
用算符的本征函数
展开
态中测量粒子的力学量^
得到结果为
的几率是
得到结果在
范围内的几率
二、计算题
3． 验证球面波
满足自由粒子的薛定谔方程：
（注：【答案】
故
其中
代表仅与角度有关的微分算符）
则
故
由（1）（2）（3）式可得
此即所需证明方程.
4． 某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。已知单粒子“轨道”态只有3种
：
（1）无自旋全同粒子。 （2）自旋
的全同粒子（例如电子）。
【答案】（1） s=0, 为玻色子，体系波函数应交换对称。
有如下六种：
（2）
单粒子态共有如下六种：
任取两个，可构成体系（交换）反对称态，如：
体系态共有或者，
从
种，即十五种。
三种轨道态任取两个，则可以构成一种轨道对称
态
及一种反对称态
态，共三种。 后者应与自旋三重态但轨道对称态还有3+3+9=15种。
试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
前者应与自旋单态相乘，而构成体系反对称
相乘而构成体系反对称态，共3×3 = 9种。
型，共三种型，各与自旋单态配合，共三种体系态，故体系态共
5． 质量为m 的粒子处于角频率为的一维谐振子势中.
（a ）写出在坐标表象中的哈密顿算符，本征值及本征函数（可不归一化）. （b ）写出在动量表象中的哈密顿算符.
（c ）证明在动量表象中，哈密顿算符的矩阵元为
.
【答案】（a ）在坐标表象中一维谐振子的哈密顿算符为本征值和波函数
（b ）在动量表象中坐标算符可表示为
则哈密顿算符为
（c ）在动量表象中哈密顿的矩阵元可表示为
6． Q 表缘的基矢有两个：
算符有如下性质：
（1）求Q 表象中的本征值和本征函数； （2）已知粒子状态为
求测量力学量的可能值及相应的概率和平均值.
则一维谐振子的势能为
【答案】（1）先算出该算符在Q 表象中的矩阵元
.
设其本证函数为则有