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一、计算题

1． 如图1所示, 三脚圆桌的半径为r=500mm, 重为P=600N。圆桌的三脚A , B 和C 形成一等边三角形。若在中线CD 上距圆心为a 的点M 处作用铅直力F=1500N, 求使圆桌不致翻倒的最大距离a 。

图1

【答案】当圆桌刚好处于不翻到的临界状态时, 如图2所示, 为了避免对力

力

得

的计算, 对AB 轴取矩, 由平衡方程

解得

图2

2． 质量为m 的小球悬在一线上, 线的另一端绕在一半径为R 的固定圆柱体上, 如图所示. 设在平衡位置时, 线的下垂部分长度为1, 且不计线的质量. 求此摆的运动微分方程

.

图

【答案】以为广义坐标, 选取

时为系统的零势能位置, 可得:

将L=T-V代入拉格朗日方程

|得运动微分方程:

3． 将如下问题抽象为力学模型，充分发挥你们的想象、分析和抽象能力，试画出它们的力学简图及受力图。

（1）用两根细绳将日光灯吊挂在天花板上； （2）水面上的一块浮冰； （3）—本打开的书静止于桌面上； （4）一个人坐在一只足球上。 【答案】如图所示。

图

4． 在图（a ）所示质量弹簧系统中，物块M 的质量为=0.8kg, 放在光滑水平面上，并与三根水平弹簧相连，

弹簧的刚度系数分别是力

N ，其中粘滞阻力系数

给物块以水平向右的初速度

物块M 在运动过程中所受到的阻

当物块在静平衡位置时，弹簧无变形，此时

试求物块M 的振动频率和运动规律

.

图

【答案】选物块M 为研究对象，以M 的静平衡位置为坐标原点，坐标轴x 水平向右，如图（b ）所示. 物块M 的运动微分方程可写为

即

其中

故阻尼系数

, 而

因为

, 所以物块M 的运动属于小阻尼衰减振动，其振动频率

物块M 的衰减规律

其中

将初始条件

代入以上两式得

将所得A 与代入式③，可得物块M 的运动规律

5． 某质点的动量为:

求作用在质点上的力F.