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一、解答题

1． 设A

为

的解为【答案】

由

利用反证法，

假设以有

解矛盾，故假设不成立，

则

由

.

得

有

有惟一解知

则方程组

. 即

即

可逆.

矩阵

且

有唯一解. 证明：

矩阵为A 的转置矩阵）.

易知

于是方程组

只有零解.

使

.

所

只有零

有非零解，这与

有非零解，即存在

为可逆矩阵，

且方程组

2． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且

所以B 的n

个特征值也为对于n-1

重特征值

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由于矩阵（0E-B ）

=-B的秩显然为1，故矩阵B 对应n-1

重特征值的特征向量应该有n-1个线性无关，进一步

矩阵B 存在n 个线性无关的特征向量，即矩阵B 一定可以对角化，且从而可

知n

阶矩阵

与相似.

3．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

（Ⅱ

）

4． 设B

是

（I

）证明（II

）证明（III

）若

矩阵

且A 可对角化，

求行列式

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知的基础解系，

即为

的特征向量

逆其中E 是n 阶单位矩阵.

【答案】⑴

（II ）

（Ⅲ）设

则由

知

即

或1. 又存在可逆矩阵p ,

使或1.

二、计算题

5． 设A ，B 都是n 阶对称阵，证明AB 是对称阵的充要条件是AB=BA.

【答案】

因

6．

设

故AB

为对称阵

是m

阶矩阵

的特征值，证明也是n 阶矩阵BA 的特征值.

特征向量

有

【答案】根据特征值的定义证明.

设A 是矩阵AB 的任-非零特征值

，是对应于它的特征向量.

即有用矩阵B 左乘上式两边，

得若再由

7． 设

证明向量组

【答案】

列向量组

其中系数矩阵K 为

与向量组

和

等价.

依次构成矩阵A 和B ，于是有B=AK，（3）

则由特征值定义知，为BA 的特征值. 下面证明

.

式得

因此

事实上，由

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