2018年新疆师范大学数学科学学院858数学基础[专业硕士]之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
且
.
求
又
又
知
即
2．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
得
故
知
故
【答案】
由题意知
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似. 3．
已知
，求
【答案】
令
则且有
1
所以
4． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
故所求的方程组可取为
将
代入得，
构
解得此方程组
二、计算题
5．
设
左乘所给方程两边，
得
又
，注意到
是可逆矩阵，
且于是
，求B.
因此仍从公式
着手. 为此，用A
右乘上式两边，得
【答案】由于所给矩阵方程中含有A
及其伴随阵
故A 是可逆矩阵，
用
6． 证明:
（1
）
（2
）
（3
）
（4
）
（5
）
【答案】
（2）将左式按第1列拆开得
其中
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