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一、解答题

1．

已知

与

相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使

【答案】由

于故B 的特征值

为

从而B

可以对角化为

分别求令

所对应的特征向量，

得

有

即a=5.

由

得A ，B 有相同特征值

，

故

再由得b=-2, c=2，于是

分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得

：令

记

有

.

因此

即

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则P 可逆，

且

2．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A 的特征值是当

时，由秩

知

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵

A

和B

不相似。

3．

设n 维

列向量

线性无

关，其中S

是大于2的偶数. 若矩阵

试求非齐次线性方程组

【答案】记

的通解.

方程组①化为：

整理得，由

线性无关，得

显然①与②同解.

下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）

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从而组的基础解系为数. 4．

设

有无穷多解. 易知特解为

从而②的通解，即①的通解为

对应齐次方程

A 为任意常

为三维单位列向量，并且记证明

：

（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0

有非零解

；

（Ⅱ）A 相似于矩阵

则

故Ax=0有非零解.

（Ⅱ

）由（Ⅰ）知向量

.

又且

另外，由

故可知

为A 的特征值，

为4的

2重特征值，

为对应的特征向量.

为A 的3个

为4的单重特征值.

故A

有零特征值

的非零解即为

对应的特征

【答案】（Ⅰ）由于A

为3

阶方阵，且

为两个正交的非零向量，从而线性无关. 故

线性无关的特征向量，

记

则

即A

相似于矩阵

二、计算题

5．

在某国，每年有比例为p 的农村居民移居城镇，有比例为q 的城镇居民移居农村

. 假设该国总人数不变，且上述人迁移的规律也不变. 把n 年后农村人和城镇人占总人的比例依次记为和

（1）求关系式

中的矩阵A ;

求

（2）设目前农村人口与城镇人口相等，