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一、计算题

1． 物体M 悬挂在弹簧AB 上, 如图1所示. 弹簧的上端A 作铅垂直线谐振动, 其振幅为b , 角频率为

即

（式中

以mm 计）. 己知物体M 的质量为0.4kg , 弹簧在0.4N 力作用下伸长求受迫振动的规律

.

10mm , b=20mm

,

图1

【答案】取系统平衡时, A , B 位置为坐标原点, 如图2所示, 弹簧力:

物块B 的微分方程为:

解得

图2

2． 如图1所示半径为r 的半圆柱体, 在水平面上只滚动不滑动, 已知该柱体对通过质心C 且平行于半圆柱母线的轴的回转半径为

又

求半圆柱体作微小摆动的频率

.

图1

【答案】

图2

选取摆动角为广义坐标, 半圆柱体在水平面上做纯滚动, 为理想约束, 如图2（b ）所示. 则广义力:

动能:

由速度合成定理得:

如图2所示上式等价于:

其中其中, 化简得,

所以半圆柱体作微小摆动的频率为:

将上式代入拉氏方程得:

3． 如图所示，物块A 自高度=4.9m处自由落下，与安装在弹簧上的物块B 相碰. 已知物块A 的质量

，物块的质量

，弹簧刚度=

. 碰撞结束后，两物块一起运动.

求碰撞结束时两物块的速度和弹簧的最大压缩量

.

图

【答案】物体A 自高处落下与物块B 接触时，由动能定理

有

得

碰撞过程中，由于忽略重力和弹性力的冲量，两物块又不分离，内碰撞冲量为零，所以系统沿y 方向动量守恒. 设碰撞后，二物块一起运动的速度为

得

此即两物块共同运动的速度. 碰撞结束后，设弹簧最大压缩量

由动能定理得

整理上式得对

的一元二次方程

注意到另一解为

解得最大压缩量

弹簧为拉伸状态，不合题意，舍去.

4． 怎样用自由振动实验方法求单自由度系统的阻尼比和阻力系数c.

【答案】可由实验测出自由振动时隔N

个周期的两个振幅

及

由对数缩减规律

则有

, 可求出阻尼比再由系统的质量m 和弹簧刚度k 得阻尼