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一、简答题

1． 若有线性回归模型

问：

（1）该模型是否违背古典线性回归模型的假定，请简要说明。 （2）如果对该模型进行估计，你会采用什么方法？请说明理由。

【答案】（1）该模型违背了古典线性回归模型的假定。古典线性回归模型要求误差项具有等方差性，即对于不同的自变量x 具有相同的方差。而由题意可知，误差项的方差为量有关。

（2）如果对该模型进行估计，会采用加权最小二乘法。加权最小二乘法是在平方和中加入权

数

以调整各项在平方和中的作用。即寻找参数

的估计值

使得离差平方和

与自变

其中

达到最小。这样，就消除了异方差性的影响。

2． 解释总平方和、回归平方和、残差平方和的含义，并说明它们之间的关系。

【答案】（1）总平方和（S^T）是实际观测值

与其均值的离差平方和，即

（2）回归平方和（^狀）是各回归值来解释的变差部分。

（3）残差平方和（SSE ）是各实际观测值与回归值的离差平方和，即

称为误差平方和。

（4）三者之间的关系

3． 简述判定系数的含义和作用。

【答案】（1）判定系数的含义

回归平方和占总平方和的比例称为判定系数，记为

其计算公式为：

（2）判定系数的作用

判定系数测度了回归直线对观测数据的拟合程度。若所有观测点都落在直线上，残差平方

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与实际观测值的均值y 的离差平方和，即

其反映了在y 的总变差中由于x 与y 之间的线性关系引起的y 的变化部分，它是可以由回归直线

它是除了

的线性影响之外的其他因素对变差的作用，是不能由回归直线来解释的变差部分。其又

和

可见

x 完全无助于解释y 的变差，拟合是完全的；如果y 的变化与x 无关，此时

的取值范围是

则

越接近于7，表明回归平方和占总平方和的比例越大，回

归直线与各观测点越接近，用x 的变化来解释y 值变差的部分就越多，回归直线的拟合程度就越好；反之越接近于0, 回归直线的拟合程度就越差。

4． 方差分析中的基本假定。

【答案】方差分析中有三个基本假定：（1）每个总体都应服从正态分布。也就是说，对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单随机样本；（2）各个总体的方差立的。

5． 简述相关系数和函数关系的差别。

【答案】变量之间的关系可分为两种类型：函数关系和相关关系。 （1）函数关系 设有两个变量

和（2）相关关系

相关关系是指变量之间确实存在的但关系值不固定的相互依存关系。在这种关系中，当一个（或几个）变量的值确定以后，另一个变量的值虽与它（或它们）有关，但却不能完全确定。这是一种非确定的关系。

6． 简述标准化值的意义及计算公式。

【答案】变量值与其平均数的离差除以标准差后的值称为标准分数，也称标准化值或分数。其计算公式为：

标准差。

标准分数可以测量每个数据在该组数据中的相对位置，并可以用它来判断一组数据是否有离群数据。比如， 如果某个数值的标准分数为

就知道该数值低于平均数1.5倍的标准差。在对

多个具有不同量纲的变量进行处理时，常常需要对各变量进行标准化处理。实际上，z 分数只是将原始数据进行了线性变换，它并没有改变一个数据在该组数据中的位置，也没有改变该组数据分布的形状，而只是将该组数据变为平均数为0, 标准差为1。

式中为变量

的标准化值，是该组数据均值，s 为该组数据的

变量随变量一起变化，并完全依赖于

当变量取某个数值时，依

确定的关系取相应的值，则称是的函数。由此可见函数关系是一种一一对应的确定性关系。

必须

相同。也就是说，对于各组观察数据，是从具有相同方差的正态总体中抽取的；（3）观测值是独

二、计算题

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7． 欲调查噪声强度对学生完成作业的准确度的影响，随机抽取了 15名学生，分配到低噪声组，中噪声组， 高噪声组中，得到准确度均数与方差如下表：

样本平均

附：分子自由度为

样本方差

分母自由度为

的

对应的界值表

（1）计算完成方差分析表，并说明噪声强度能解释作业准确度的变异的比例。 （2）用

的显著性水平，分析噪声强度对作业准确度是否有影响。

（3）要具体确定低噪声组与中噪声组间的准确度是否有差异，怎样分析（不需计算）。 【答案】（1）

①计算全部观测值的总均值：

②计算各误差平方和： 组间平方和：

组内平方和：

总平方和：

③

方差分析表如下所示：

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