2018年北京工商大学理学院806概率论与数理统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量
且X 与Y 相互独立，令
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知，（3）由（2）知所以
2． 设
由此得
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列，所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大时
，
所以
因为X 与Y 相互独立，
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
3． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
4． 设连续随机变量X 的密度函数为P(x),试证:P(x)关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.
【答案】记X 的特征函数为为
这表明X 与从而X 与即数，
由于
的特征函数为
所以
故
是实的偶函数.
5． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为p （x ，y ），证明:X 与Y 相互独立的充要条件是p X ，y ）（可分离变量，即
【答案】记X 与Y 的边际密度函数分别为独立，则
，即p （X ，y ）可分离变量，其中
下证充分性:因为
由联合密度函数的正则性，得
又因为
9 »
由此可得
x ）所以x 与y 相互独立，且从以上的证明过程可知:h （与也相差一个常数因子
，这两个常数因子的乘积为1.
先证充分性. 若是实的偶函数，则又因
有相同的特征函数，
有相同的密度函数，而X 的密度函数为
则X 与
所以得
有相同的特征函
关于原点是对称的.
有相同的密度函数，所以X 与
再证必要性，若
又问与边际密度函数有什么关系？
，必要性是显然的，因为X 与Y 相互
.
，所以记
相差一个常数因子，
二、计算题
6． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为
某顾客在窗口等待服务，若超过他未等到服务而离开窗口的次数，试求
【答案】因为
，其
中
他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内
所以得
7． 设随机变量X 和Y 相互独立, 且均服从参数为1的指数分布,
求: （1）随机变量V 的概率密度（2）
故V 的概率密度为
（2）解法1:
故U 的概率密度为
解法2:因为
, 故
.
8． 某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量（单位:小时），其密度函数为
试求平均维修时间. 【答案】
故其平均维修时间为50小时.
. 的分布函数为
；
【答案】 （1）X 与Y 的分布函数均为
的分布函数为
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