● 摘要
小波分析是继 Fourier 变换之后又一个实用的信号时频分析方法,具有时频局部化能力和多分辨分析能力. 小波变换本质上是通过变换后选择信号能量集中的少数几个变换系数, 基于此进行图像编码就能大大提高压缩比和计算速度. 框架理论是研究小波分析的一个主要工具, 它是由 Duffin和 Schaffer在 1952年研究非调和 Fourier级数时提出来的, 它在小波分析的发展中起到了非常重要的作用. 由于框架在表示信号时具有冗余性, 而这种冗余性可以在低精度下比较精确地重构信号, 因此它不断成为学者们研究的热点. 2004 年, I. Bogdanova 和 P. Vandergheynst 在研究球面小波变换时, 处于研究的需要定义了一种冗余性更强的框架即加权框架, 但那里并没有对其性质及扰动性进行讨论. 2006 年, Peter Balazs 讨论它的一些相关性质, 如今这些理论已经广泛应用于小波分析、信号分析、图象处理、数值计算、Banach 空间理论等理论和应用领域的研究. 本文着重讨论了小波变换理论、框架理论、加权框架理论及小波变换在图像边缘检测中的应用. 文中引用的结论大都是此方面的经典结论或者最新的结论. 他们代表了此领域的研究水平和发展方向. 在此基础之上, 本文作者推广了部分结果, 同时也给出了一些新的结果. 本文共分四部分. 第一章是绪论, 综述了小波分析的产生、发展和框架及加权框架理论的产生、发展. 第二章介绍了几种重要的小波变换及多分辨率分析理论. 第三章第一、二部分介绍了 Bessel 序列和框架的定义、基本性质及框架算子的相关理论. 框架是一类特殊的 Bessel序列, 框架是把Hilbert 空间中的规范正交基满足的 Parseval 等式推广到比较一般的序列所满足的双边不等式的结果. 在第三部分介绍了加权架的定义, 基本性质并通过具体实例讨论它的稳定性, 接着给出了它与框架算子的联系, 目的在于将加权框架和算子联系起来, 为以后的进一步研究奠定一些理论基础. 第四章介绍了小波变换在图像边缘检测中的应用. 随着数字图像采集技术和处理技术的飞速发展, 图像已成为人们获取信息的重要途径, 图像的边缘信息反映了图像中最有价值的信息, 边缘检测是图像处理和计算机视觉中最重要、最经典的课题之一. 由于小波变换的良好局部特性与多尺度特性, 可以满足在多个尺度上提取边缘的需要, 所以应用小波变换提取边缘被认为是一种有效、有前途的方法. 本章将小波变换和WISDOW 法结合起来对图像进行边缘检测. 仿真结果表明, 这种算法对提取医学图像边缘是有效的.
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