2017年电子科技大学数学科学学院835线性代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 求抛物线
被圆
所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
2． 当k 为何值时，反常积分时，这反常积分取得最小值？
【答案】
因此当k ≤1时，反常积分发散，当k>1时，该反常积分收敛，此时
记
，则
令
，故
，
得
，
当
时
，
，
当
时
，
收敛？当k 为何值时，这反常积分发散？又当k 为何值
，
因此所求弧长为
【答案】联立两曲线方程
为函数f （k ）的最小值点，即当时所给反常积分取得最
小值。
3． 收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元。
（l ）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; （2）将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; （3）某一销售商订购了1 000台，厂方可获利润多少?
【答案】设订购x 台，实际售价每台p 元，厂方所获利润P 元. 则按题意，有 当
时，
，但最低价为75，即降
于是，当时
，
因此，有 （1）
（2）
（3）
4． 设质量为100kg 的物体从点
【答案】
5． xOy 坐标面上的双曲线的方程.
【答案】以
周而生成的旋转曲面方程为
即
以
的旋转曲面方程为
即
当x>100时，超过100台的订购量为x-100，售价降低价数不超过90-75=15，故
时，
当
（元）。
（3, 1, 8）沿直线移动到点
，计算重力所作的功（1, 4, 2）
（坐标系长度单位为m ，重力方向为z 轴负方向）.
分别绕x 轴及y 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面
代替双曲线方程
中的y ，得该双曲线绕x 轴旋转一
代替双曲线方程中的x ，得该双曲线绕y 轴旋转一周而生成
6． 半径为r 的球沉如水中，球的上部与水面相切，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需作多少功？
【答案】取x 轴的正向铅直向上，沉入水中的球心为原点，并取x 为积分变量，则x 的变化范围为[-r，r]对应区间[x，x+dx]的球的薄片的体积为
由于该部分在水面以下重力与浮力的合力为零（因为球的密度与水的密度相同，在水面以上移动距离为r+x, 故作功为
7． 画出下列各平面所围成的立体的图形，
⑴x=0，y=0，z=0，x=2，y=1，3x ＋4y ＋2z －12=0； ⑵x=0，z=0，x=1，y=2，
【答案】 ⑴如图1所示；⑵如图2所示
.
图1 图2
8． 求下列数项级数的和:
【答案】（1）利用又其中故
取x=1, 有