2017年大连海事大学数学系835高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设曲线积分条平面曲线，求：
（1）可微函数（2）求沿L 从原点
。已知到点
的曲线积分。
。
，其中L 为任意一
【答案】（1）由于任意平面闭曲线的曲线积分都有，即曲线与积分路径无关。
，即
则等式两边x 的系数及不含x 的项应该相等，即
在①式两边对y 求导，并将②代入得
又
又由①式得，（2）由于
，则方程③的特解为
。
，故曲线积分与路径无关，取点
，沿折线
2． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
.
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
积分得
。
3． 试从导出
【答案】
4． 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值:
【答案】（1）积分区域D 如图1所示. 在极坐标系中，有
于是
（2）如图2所示，在极坐标系中，有
图1 图2 于是
（3）积分区域D 如图3所示. 在极坐标系中，抛物线
; 射线
，的方程是
故
的方程是
，
即
图
3
于是
（4）积分区域
故